Ángulos

Ángulos en el círculo.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.Existen diversos tipos de ángulos singulares en un círculo. Cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo, recibe el nombre de ángulo central, mientras que cuando los extremos y el vértice están sobre el círculo el ángulo se denomina inscrito. Un ángulo formado por una cuerda y una recta tangente se denomina semi-inscrito.

En un círculo de radio unidad, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que subtiende, medido en radianes. Así, un ángulo central recto .
mide π/2 radianes, y la longitud del arco es π/2 si el radio es la unidad; si el radio mide r, el arco medirá r x π/2

La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360.

Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente (véase arco capaz).

Área del círculo
Artículo principal: Área de un círculo
Un círculo de radio , tendrá un área:

; en función del radio (r).
o

; en función del diámetro (d), pues
o

; en función de la longitud de la circunferencia máxima (C),
pues la longitud de dicha circunferencia es:

Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados
El área del círculo: ,

se deduce, sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: .

Considerando la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro con la longitud, por tanto:


El círculo en topología
En geometría y topología, un círculo es la región del plano acotado por una circunferencia. Se llama cerrado o abierto dependiendo si contiene o no a la circunferencia que lo limita.
En coordenadas cartesianas el círculo abierto con centro (a,b) y radio R será:
.
El círculo cerrado con el mismo centro y radio es:

Una esfera es la palabra usada para indicar un objeto tridimensional consistente en los puntos del espacio euclídeo que están a una distancia menor o igual a una cantidad fija denominada también radio, radio de la esfera.
Lamentablemente, geometras y topólogos adoptan convenios incompatibles para el significado de "n-esfera". Para los geómetras, la superficie de la esfera es llamada 3-esfera, mientras que topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican como .9